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- Cómo aproximar el área con rectángulos izquierdos
Se puede aproximar el área bajo una curva sumando los rectángulos «izquierdos». Por ejemplo, digamos que desea el área bajo la curva f (x) = x2 + 1 de 0 a 3. El área sombreada del gráfico en el lado izquierdo de la figura de abajo muestra el área que desea encontrar.
Puede obtener una estimación aproximada de esa área dibujando tres rectángulos debajo de la curva, como se muestra en el gráfico del lado derecho de la figura, y luego determinando la suma de sus áreas. Los rectángulos de la figura forman la llamada suma izquierda porque la esquina superior izquierda de cada rectángulo toca la curva.
En este ejemplo, cada rectángulo tiene un ancho de 1 y la altura de cada uno viene dada por la altura de la función en el borde izquierdo del rectángulo. Entonces, el rectángulo número 1 tiene una altura de
Su área (largo x ancho o alto x ancho) es por lo tanto 1 x 1, o 1. El rectángulo 2 tiene una altura de
así que su área es 2 x 1, o 2. Y el rectángulo 3 tiene una altura de
así que su área es 5 x 1, o 5. Sumando estas tres áreas se obtiene un total de 1 + 2 + 5, u 8. Puede ver que esto es una subestimación del área total bajo la curva debido a las tres brechas entre los rectángulos y la curva mostrada en la figura anterior.
Para una mejor estimación, duplique el número de rectángulos a seis. La siguiente figura muestra seis rectángulos «izquierdos» debajo de la curva y también cómo los seis rectángulos comienzan a llenar los tres huecos que se ven en la primera figura.
Vea los tres pequeños rectángulos sombreados en el gráfico de la derecha en la segunda figura? Se sientan encima de los tres rectángulos de la primera figura, y representan cuánto ha mejorado la estimación del área usando seis rectángulos en lugar de tres.
Ahora suma las áreas de los seis rectángulos. Cada uno tiene un ancho de 0.5 y las alturas son f(0), f(0.5), f(1), f(1.5), y así sucesivamente. Aquí está el total: 0.5 + 0.625 + 1 + 1.625 + 2.5 + 3.625 = 9.875. Esta es una estimación mejor, pero sigue siendo una subestimación debido a las seis pequeñas brechas que se pueden ver en el gráfico del lado izquierdo de la figura anterior.
Aquí está la fórmula de los pantalones elegantes para una suma del rectángulo izquierdo.
La Regla del Rectángulo Izquierdo: Puede aproximar el área exacta bajo una curva entre a y b,
con la suma de los rectángulos izquierdos dada por la siguiente fórmula. En general, cuantos más rectángulos, mejor será la estimación.
Donde n es el número de rectángulos,
es el ancho de cada rectángulo, y los valores de las funciones son las alturas de los rectángulos.
Mire hacia atrás a los seis rectángulos mostrados en la segunda figura. El ancho de cada rectángulo es igual a la longitud del intervalo total de 0 a 3 (que por supuesto es de 3 a 0, o 3) dividido por el número de rectángulos, 6. Eso es lo que la directiva
en la fórmula.
Ahora, ¿qué hay de esas xs con los subíndices? La coordenada x del borde izquierdo del rectángulo 1 en la segunda figura se llama
el borde derecho del rectángulo 1 (que es el mismo que el borde izquierdo del rectángulo 2) está en
el borde derecho del rectángulo 2 está en
el borde derecho del rectángulo 3 está en
y así sucesivamente hasta el borde derecho del rectángulo 6, que está en
Para los seis rectángulos de la segunda figura,
Las alturas de los seis rectángulos izquierdos en la segunda figura ocurren en sus bordes izquierdos, que están a 0, 0.5, 1, 1.5, 2, y 2.5 – eso es
No se usa el borde derecho del último rectángulo,
en una suma a la izquierda. Es por eso que la lista de valores de función en la fórmula se detiene en
He aquí cómo usar la fórmula para los seis rectángulos de la segunda figura:
(Note que si hubiera distribuido el ancho de 1/2 a cada una de las alturas después de la tercera línea en la solución anterior, habría visto la suma de las áreas de los seis rectángulos (como en la suma de los números dos párrafos debajo de la segunda figura). La fórmula inmediatamente anterior sólo utiliza el método abreviado de sumar primero las alturas y luego multiplicarlas por el ancho.)
