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5. Cómo ajustar el dominio y el rango de funciones combinadas

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

Cuando se empiezan a combinar funciones (como por ejemplo, añadir un polinomio y una raíz cuadrada), el dominio de la nueva función combinada se ve afectado. Lo mismo puede decirse del rango de una función combinada; la nueva función se basará en la(s) restricción(es) de las funciones originales.

El dominio se ve afectado cuando se combinan funciones con división porque las variables terminan en el denominador de la fracción. Cuando esto sucede, es necesario especificar los valores en el dominio para los que no se ha definido el cociente de la nueva función. Los valores no definidos también se denominan valores excluidos para el dominio. Si f(x) = x2 – 6x + 1 y g(x) = 3×2 – 10, si se mira a

esta fracción tiene valores excluidos porque f(x) es una ecuación cuadrática con raíces reales. Las raíces de f(x) son

así que estos valores están excluidos.

Desafortunadamente, no existe un método infalible para encontrar el dominio y el rango de una función combinada. El dominio y el rango que se encuentran para una función combinada dependen del dominio y el rango de cada una de las funciones originales individualmente. Para tener una idea del dominio y el rango de la función combinada, simplemente desglosa el problema y mira los dominios y rangos individuales.

Encontrar el dominio de una composición de funciones

Dadas dos funciones, f(x) y g(x), asume que tienes que encontrar el dominio de la nueva función combinada f(g(x)). Para ello, es necesario encontrar primero el dominio de cada función individual. Si

y g(x) = 25 – x2, así es como se encuentra el dominio de la función compuesta f(g(x)):

1. Busca el dominio de f(x). ya que no se puede colocar una raíz cuadrada en un número negativo, el dominio de f tiene que ser todos los números no negativos. Matemáticamente, esto se escribe como o en notación de intervalo,
2. Encuentra el dominio de g(x). Debido a que esta ecuación es un polinomio, su dominio son todos los números reales, o
3. Encuentre el dominio de la función combinada. cuando se le pida específicamente que mire la función compuesta f(g(x)), observe que g está dentro de f. Usted todavía está tratando con una función de raíz cuadrada, lo que significa que todas las reglas para las funciones de raíz cuadrada todavía se aplican. Así que el nuevo radicand de la función compuesta tiene que ser no negativo: Resolviendo esta desigualdad cuadrática te da lo que constituye el dominio de la función compuesta:

Encontrar el rango de una composición de funciones

Para encontrar el rango de la misma función compuesta, también debe considerar primero el rango de ambas funciones originales:

1. Encuentra el rango de f(x). Una función de raíz cuadrada siempre da respuestas no negativas, así que su rango es
2. Esta función es un polinomio de grado parejo (específicamente, un cuadrático), y los polinomios de grado parejo siempre tienen un valor mínimo o máximo. Cuanto más alto es el grado en el polinomio, más difícil es encontrar el mínimo o el máximo. Debido a que esta función es «sólo» una cuadrática, puedes encontrar su mínimo o su máximo localizando el vértice Primero, reescribe la función como g(x) = -x2 + 25. Esta forma le dice que la función es una cuadrática transformada que ha sido cambiada al revés. Por lo tanto, la función nunca llega a ser superior a 25 en la dirección y. La gama es
3. Encuentra el rango de la función compuesta f(g(x)) La función g(x) alcanza su máximo (25) cuando x = 0. Por lo tanto, la función compuesta también alcanza su máximo a x = 0: El rango de la función compuesta tiene que ser menor que ese valor, o Recuerda que el gráfico de esta función combinada también depende del rango de cada función individual. Debido a que el rango de g(x) debe ser no negativo, también debe serlo el rango de la función compuesta. Esto se escribe como Por lo tanto, el rango de la función compuesta es Si graficas esta función compuesta en tu calculadora gráfica, obtienes el semicírculo superior del radio 5 que está centrado en el origen.