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5. Cómo adivinar y comprobar las raíces reales – 3 – Probando las raíces mediante la división de polinomios utilizando la división sintética

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

Una vez que se ha utilizado el teorema de la raíz racional para listar todas las posibles raíces de cualquier polinomio, el siguiente paso es probar las raíces. Una forma es usar la división sintética. La división sintética es un atajo para la división larga de polinomios. Es un caso especial de división cuando el divisor es un factor lineal de la forma x + c, donde c es una constante.

Desafortunadamente, el atajo sólo funciona si el divisor (x + c) es un binomio de primer grado con un coeficiente de avance de 1 (siempre se puede hacer 1 dividiendo todo por el coeficiente de avance primero). Afortunadamente, siempre se puede usar la división sintética para averiguar si una posible raíz es realmente una raíz.

Aquí están los pasos generales para la división sintética:

1. Asegúrese de que el polinomio se escriba en orden descendente; el término con el exponente más alto es el primero.
2. Anota los coeficientes y la constante del polinomio de izquierda a derecha, rellenando en forma de cero los términos de cualquier grado que falte; coloca la raíz que estás probando fuera del signo de división sintética. Deje espacio debajo de los coeficientes para escribir otra fila de números.
3. Desplegar el primer coeficiente por debajo del signo de división.
4. Multiplica la raíz que estás probando por el número que acabas de dejar caer y escribe la respuesta debajo del siguiente coeficiente.
5. Añada el coeficiente y el producto del Paso 4 y ponga la respuesta debajo de la línea.
6. Multiplica la raíz que estás probando por la respuesta del Paso 5 y pon el producto debajo del siguiente coeficiente.
7. Continúa multiplicando y sumando hasta que uses el último número dentro del signo de división sintética, si obtienes un remanente, el número que probaste no es una raíz. Has encontrado una raíz. Los números debajo del signo de división sintética son los coeficientes del cociente polinomio. El grado de este polinomio es uno menos que el original (el dividendo), por lo que el exponente en el primer periodo x debería ser uno menos de lo que usted comenzó.

Supongamos que estás probando las raíces para la ecuación, f(x) = 2×4 – 9×3 – 21×2 + 88x + 48, y has eliminado x = 2 usando la división larga, así que sabes que no debes empezar por ahí. Por lo tanto, usted decide hacer la división sintética, como se muestra en la figura de x = 4.

El atajo de la división sintética a la hora de probar posibles raíces.

El 4 en el exterior de la figura es la raíz que está probando. Los números en el interior son los coeficientes del polinomio. Aquí está el proceso sintético, paso a paso:

1. El 2 debajo de la línea sólo cae desde la línea de arriba.
2. Multiplique 4 por 2 para obtener 8 y escriba eso en el próximo trimestre, -9.
3. Suma -9 + 8 para obtener -1.
4. Multiplica 4 por -1 para obtener -4, y escribe eso debajo del -21.
5. Suma -21 + -4 para obtener -25.
6. Multiplica 4 por -25 para obtener -100, y escríbelo por debajo de 88.
7. Suma 88 a -100 para obtener -12.
8. Multiplica 4 por -12 para obtener -48, y escribe eso bajo 48.
9. Suma 48 a -48 para obtener 0.

Todo lo que tienes que hacer es multiplicar y sumar, por lo que la división sintética es el atajo. El último número, 0, es el resto. Debido a que obtienes un resto de 0, x = 4 es una raíz.

Los otros números son los coeficientes del cociente, en orden de mayor a menor grado; sin embargo, el cociente es siempre un grado más bajo que el grado del polinomio original. Así que el cociente en este ejemplo es 2×3 – x2 – 25x – 12.

Cada vez que una raíz funciona, siempre debe probarla de nuevo automáticamente en el cociente de respuestas para ver si es una raíz doble, utilizando el mismo proceso. Una doble raíz ocurre cuando un factor tiene una multiplicidad de dos.

Una doble raíz es un ejemplo de multiplicidad. Vuelva a probar x = 4, como se muestra en la figura.

Probando una raíz de respuesta de nuevo, por si acaso es una raíz doble.

¿Qué es lo que sabes? Obtienes un resto de 0 de nuevo, así que x = 4 es una raíz doble. (En términos matemáticos, dices que x = 4 es una raíz con multiplicidad de dos.) Tienes que revisarla de nuevo, sin embargo, para ver si tiene una multiplicidad mayor. Cuando divides x = 4 sintéticamente una vez más, no funciona. La siguiente figura ilustra este fracaso. Debido a que el resto no es 0, x = 4 no es una raíz de nuevo.

Probando la raíz de nuevo muestra que es sólo una raíz doble en lo que respecta a la multiplicidad.

Siempre trabaje con el cociente más nuevo cuando utilice la división sintética. De esta manera, el grado se hace más y más bajo hasta que terminas con una expresión cuadrática, o hasta que has agotado todas las raíces racionales posibles. Si una expresión cuadrática permanece, puede resolverla utilizando técnicas como el factoraje, completar el cuadrado o la fórmula cuadrática.

Antes de probar x = 4 por última vez, el polinomio (llamado polinomio deprimido) estaba en una cuadrática: 2×2 + 7x + 3. Si factorizas esta expresión, obtienes (2x + 1)(x + 3). Esto te da dos raíces más de -1/2 y -3. Para resumirlo todo, has encontrado x = 4 (multiplicidad dos), x = -1/2, y x = -3. Encontraste cuatro raíces complejas – dos de ellas son números reales negativos, y dos de ellas son números reales positivos.

El teorema del resto dice que el resto que obtienes cuando divides un polinomio por un binomio es el mismo que el resultado que obtienes al conectar el número al polinomio. Por ejemplo, cuando usó la división larga para dividir por x – 2, estaba probando para ver si x = 2 es una raíz. Podrías haber usado la división sintética para hacer esto, porque todavía tienes un resto de 100. Y si conectas 2 en f(x) = 2×4 – 9×3 – 21×2 + 88x + 48, también obtienes 100.