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- Cómo adivinar y comprobar las raíces reales – 2 – Probando las raíces mediante la división de polinomios utilizando la división larga
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Por Yang Kuang, Elleyne Kase
Una vez que se ha utilizado el teorema de la raíz racional para listar todas las posibles raíces de cualquier polinomio, el siguiente paso es probar las raíces. Una forma es usar la división larga de polinomios y esperar que cuando se divide se obtiene un resto de 0. Una vez que se tiene una lista de posibles raíces racionales, se elige una y se asume que es una raíz.
Por ejemplo, considera la ecuación f(x) = 2×4 – 9×3 – 21×2 + 88x + 48, que tiene las siguientes raíces racionales posibles:
Si x = c es una raíz, entonces x – c es un factor. Así que si escoges x = 2 como tu conjetura para la raíz, x – 2 debería ser un factor. Puede utilizar la división larga para probar si x – 2 es realmente un factor y, por lo tanto, x = 2 es una raíz.
Dividir polinomios para obtener una respuesta específica no es algo que se hace todos los días, pero la idea de una función o expresión que se escribe como el cociente de dos polinomios es importante para el pre-cálculo. Si se divide un polinomio por otro y se obtiene un resto de 0, el divisor es un factor, que a su vez da una raíz.
En la jerga matemática, el algoritmo de división establece lo siguiente: Si f(x) y d(x) son polinomios tales que d(x) no es igual a 0, y el grado de d(x) no es mayor que el grado de f(x), existen polinomios únicos q(x) y r(x) tales que
En inglés simple, el dividendo es igual al divisor multiplicado por el cociente más el resto. Siempre puedes comprobar tus resultados recordando esta información.
Recuerda el dispositivo mnemotécnicoDirty Monkeys Smell Bad cuando hagas divisiones largas para comprobar tus raíces. Asegúrese de que todos los términos en el polinomio estén listados en orden descendente y que cada grado esté representado. En otras palabras, si falta x2, pon un marcador de posición de 0x2 y luego haz la división. (Este paso es sólo para facilitar el proceso de división.)
Para dividir dos polinomios, siga estos pasos:
- Divide el plazo del dividendo por el plazo del divisor. Escriba este cociente directamente encima del término en el que acaba de dividir.
- Multiplicar el término del cociente del paso 1 por el divisor completo. Escriba este polinomio bajo el dividendo para que se alineen los términos similares.
- Réstale toda la línea que acabas de escribir al dividendo, puedes cambiar todos los signos y sumar si te hace sentir más cómodo. De esta manera, no olvidará las señales.
- Haga exactamente lo que dice esto; reduzca el próximo término en el dividendo.
- Repita los pasos 1-4 una y otra vez hasta que el polinomio restante tenga un grado que sea menor que el de los dividendos.
La siguiente lista explica cómo dividir 2×4 – 9×3 – 21×2 + 88x + 48 por x – 2. Cada paso se corresponde con el paso numerado en la ilustración de esta figura.
El proceso de división larga de polinomios.
(Note que usando la regla de signos de Descartes, usted encontrará que este ejemplo en particular puede tener raíces positivas, así que es eficiente intentar un número positivo aquí. Si la regla de los signos de Descartes hubiera dicho que no existían raíces positivas, ¡no probarías ninguna positiva!)
- Divide: ¿Qué tienes que multiplicar x en el divisor para que se convierta en 2×4 en el dividendo? El cociente, 2×3, va más allá del término 2×4.
- Multiplica este cociente por el divisor y escríbelo bajo el dividendo.
- Reste. Reste esta línea del dividendo: (2×4 – 9×3) – (2×4 – 4×3) = -5×3. Si has hecho bien el trabajo, la resta de los primeros términos siempre produce 0.
- Baja. Baja los otros términos del dividendo.
- Divide. ¿Qué tienes que multiplicar x por -5×3? Ponga la respuesta, -5×2, encima del -21×2.
- Multiplica el -5×2 por el x – 2 para obtener -5×3 + 10×2. Escríbalo debajo del resto con los grados alineados.
- Ahora tienes (-5×3 – 21×2) – (-5×3 + 10×2) = -31×2.
- Bajar. El +88x toma su lugar.
- El cociente -31×2 se convierte en -31×2. El cociente -31x va por encima de -21×2.
- El valor -31x veces (x – 2) es -31×2 + 62x; escríbelo bajo el resto.
- Reste. Ahora tienes (-31×2 + 88x) – (-31×2 + 62x), que es 26x.
- Baja. El +48 baja.
- El término 26x dividido por x es 26. Esta respuesta va arriba.
- La constante 26 multiplicada por (x – 2) es 26x – 52.
- Restas, restas (26x + 48) – (26x – 52) para obtener 100.
- El resto 100 tiene un grado que es menos que el divisor de x – 2.
Wow… ahora sabes por qué lo llaman división larga. Pasaste por todo eso para descubrir que x – 2 no es un factor del polinomio, lo que significa que x = 2 no es una raíz.
Si divides por c y el resto es 0, entonces la expresión lineal (x – c) es un factor y esa c es una raíz. Un resto distinto de 0 implica que (x – c) no es un factor y que c no es una raíz.